Funciónes

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área

A

de un círculo es función de su radio

r

: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio,

A = π \cdot r 2

. Del mismo modo, la duración

t

de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia

d

de 150 km depende de la velocidad

v

a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad,

d / v

. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.
En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

...	−2 → +4,	−1 → +1,	±0 → ±0,
	+1 → +1,	+2 → +4,	+3 → +9,	...

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros ℤ y el conjunto de los números naturales ℕ. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

...,

Estación → E,

Museo → M,

Arroyo → A,

Rosa → R,

Avión → A,

...

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras del alfabeto español.
La manera habitual de denotar una función

f

es:

f : A \to B

a \to f (a)

donde

A

es el dominio de la función

f

, su primer conjunto o conjunto de partida; y

B

es el codominio de

f

, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por

f (a)

se denota la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario

a

del dominio

A

, es decir, el (único) objeto de

B

que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles

f

g

, se denotarían entonces como:

f : ℤ \to ℕ

k \to k 2

, o sencillamente

f (k) = k 2

;

g : V \to A

p \to

inicial de

p

;

si se conviene

V =

{Palabras del español} y

A =

{Alfabeto español}.
Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo o ecuaciones para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.

La notación habitual para presentar una función

f

con dominio

A

y codominio

B

es:

$f : A \to B$

$a \to b = f (a)$

También se dice que

f

es una función «de

A

B

» o «entre

A

B

». El dominio de una función

f

se denota también por

dom(f)

D(f)

D f

, etc. Por

f (a)

se resume la operación o regla que permite obtener el elemento de

B

asociado a un cierto

a \in A

, denominado la imagen de

a

.⁶

Ejemplos

La función «cubo» puede denotarse ahora como $f : ℝ \to ℝ$ , con $f (x) = x 3$ para cada número real $x$ .
La función «inverso» es $g: ℝ \ {0} → ℝ$ , con $g (x) = 1 / x$ para cada $x$ real y no nulo.
La función «clasificación en géneros» puede escribirse como $γ: M \to G$ , donde $γ(m) =$ Género de $m$ , para cada mamífero conocido $m$ .
La función «área» se puede denotar como $A : T \to ℝ$ , y entonces $A (t) =$ Área de $t = b \cdot h / 2$ , donde $t$ es un triángulo del plano, $b$ su base, y $h$ su altura.
La función «voto» se puede escribir como $v : E \to P$ , donde $v (a) =$ Partido que $a$ votó, para cada votante $a$ .

La notación utilizada puede ser un poco más laxa, como por ejemplo «la función

f (n) = \sqrt n

». En dicha expresión no se especifica que conjuntos se toman como dominio y codominio. En general, estos vendrán dados por el contexto en el que se especifique dicha función. En el caso de funciones de varias variables (dos, por ejemplo), la imagen del par

(a 1, a 2)

no se denota por

f [(a 1, a 2)]

, sino por

f (a 1, a 2)

, y similarmente para más variables.
Existen además terminologías diversas en distintas ramas de las matemáticas para referirse a funciones con determinados dominios y codominios:

Función real: $f : ℝ \to ℝ$
Función compleja: $f : ℂ \to ℂ$
Función escalar: $f : ℝ n \to ℝ$
Función vectorial: $f : ℝ n \to ℝ m$

También las sucesiones infinitas de elementos tales como

a

b

c

, ... son funciones, cuyo dominio en este caso son los números naturales. Las palabras «función», «aplicación», «mapeo», u otras como «operador», «funcional», etc. pueden designar tipos concretos de función según el contexto. Adicionalmente, algunos autores restringen la palabra «función» para el caso en el que los elementos del conjunto inicial y final son números.⁷

Imagen e imagen inversa

Artículo principal: Conjunto imagen

Dado un conjunto de votantes y un conjunto de posible partidos, en unas elecciones, el sentido del voto de cada individuo se puede visualizar como una función.

Los elementos del codominio B asociados con algún elemento del dominio A constituyen la imagen de la función.

Dada una función f : A → B, el elemento de B que corresponde a un cierto elemento a del dominio A se denomina la imagen de a, f(a).
El conjunto de las imágenes de cada elemento del dominio es la imagen de la función f (también rango o recorrido de f). El conjunto de las imágenes de un subconjunto cualquiera del dominio, X ⊆ A, se denomina la imagen de X.

La imagen de una función f se denota por Im(f), y la de un subconjunto X por f(X) o f[X]. En notación conjuntista las imágenes de f y X se denotan:

$\begin{align} &\text{Im}(f) = \{b\in B: \text{existe }a\in A\text{ tal que }f(a)=b\}\\ &f(X) = \{b\in X: \text{existe }a\in A\text{ tal que }f(a)=b\} \end{align}$

La anti-imagen de cada partido es el conjunto de los electores que lo votaron.

La imagen de una función f es un subconjunto del codominio de la misma, pero no son necesariamente iguales: pueden existir elementos en el codominio que no son la imagen de ningún elemento del dominio, es decir, que no tienen preimagen.

La imagen inversa (también anti-imagen o preimagen) de un elemento b del codominio B es el conjunto de elementos del dominio A que tienen a b por imagen. Se denota por f⁻¹(b).
La imagen inversa de un subconjunto cualquiera del codominio, Y ⊆ B, es el conjunto de las preimágenes de cada elemento de Y, y se escribe f⁻¹(Y).

Así, la preimagen de un elemento del codominio puede no contener ningún objeto o, por el contrario, contener uno o más objetos, cuando a uno o varios elementos del dominio se les asigna dicho elemento del codominio. En notación conjuntista, se escriben:

$\begin{align} &f^{-1}(b)=\{a\in A:f(a)=b\}\\ &f^{-1}(Y)=\{a\in A:\text{ existe }b\in Y\text{ con }f(a)=b\} \end{align}$

Ejemplos

La imagen de la función cubo f es todo R, ya que todo número real posee una raíz cúbica real. En particular, las raíces cúbicas de los números positivos (negativos) son positivas (negativas), por lo que se tiene, por ejemplo, f⁻¹(R⁺) = R⁺.
El recorrido de la función inverso g no es igual a su codominio, ya que no hay ningún número real x cuyo inverso sea 0, 1/x = 0.
Para la función «clasificación en géneros» γ se tiene:

γ(Perro) = Canis, y γ⁻¹(Canis) = {Perro, coyote, chacal,...}.

Como el área es siempre un número positivo, el recorrido de la función área A es R⁺.
En el diagrama puede comprobarse que la imagen de la función voto v no coincide con el codominio, ya que el partido C no recibió ningún voto. Sin embargo puede verse que, por ejemplo, v⁻¹(Partido A) tiene 2 elementos.

Igualdad de funciones

Dadas dos funciones, para que sean idénticas han de tener el mismo dominio y codominio, y asignar la misma imagen a cada elemento del dominio:

Dadas dos funciones f : A → B y g : C → D, son iguales o idénticas si se cumple:

Tienen el mismo dominio: A = C

Tienen el mismo codominio: B = D

Asignan las mismas imágenes: para cada x ∈ A = B, se tiene que f(x) = g(x)

Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas

Artículos principales: Función inyectiva, Función suprayectiva y Función biyectiva.

La imagen inversa de un elemento del codominio puede ser vacía, o contener varios objetos del dominio. Esto da lugar a la siguiente clasificación:

Funciones

Inyectiva

No inyectiva

Sobreyectiva


Biyectiva

No sobreyectiva

Se dice que una función f : A → B es inyectiva si las imágenes de elementos distintos son distintas:

$\text{Si }a,a'\in A\text{ y }a\neq a',\text{ entonces }f(a)\neq f(a')$

o, de modo equivalente, si sólo asigna imágenes idénticas a elementos idénticos:

$\text{Si }a,a'\in A\text{ y }f(a)=f(a'),\text{ entonces }a=a'$

Una función f : A → B se dice suprayectiva (o sobreyectiva) si su imagen es igual a su codominio:

$\text{Im}(f)=B\!$

o, de modo equivalente, si todo elemento del codominio es la imagen de algún elemento del dominio:

$\text{Para cada }b\in B\text{ existe un }a\in A\text{ con }f(a)=b$

Las funciones inyectivas no repiten las imágenes: si b = f(a), ningún otro a' tiene por imagen a b, por lo que la anti-imagen de este último sólo contiene al elemento a. Las funciones suprayectivas recorren todo el codominio, por lo que ninguna anti-imagen puede estar vacía. La definición de función suprayectiva asume que esta tiene un codominio especificado previamente. De lo contrario, la noción de suprayectividad no tiene sentido.
Cuando una función tiene ambas propiedades a la vez, se dice que es una biyección entre ambos conjuntos:

Una función f : A → B se dice biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

Las funciones biyectivas constituyen un «emparejamiento perfecto» entre los elementos del dominio y el codominio: cada elemento en A tiene una única «pareja» en B —como todas las funciones—, y a cada elemento de B le corresponde uno solo en A —al menos uno por ser suprayectiva, y como mucho uno por ser inyectiva—.

Ejemplos.

La función cubo f: R → R es biyectiva. Es inyectiva porque dos números reales que tienen el mismo cubo son idénticos, y es suprayectiva porque Im(f) = R.
La función «inverso» g: R \ {0} → R es inyectiva, ya que el inverso de cada número real no nulo es único (1/x = 1/y implica necesariamente que x = y). Sin embargo no es suprayectiva, dado que Im(g) = R \ {0}.
La función de clasificación de mamíferos γ: M → G no es inyectiva, ya que hay mamíferos distintos en el mismo género (por ejemplo, γ(Yak) = γ(Toro) = Bos). Sin embargo sí es suprayectiva, ya que en cada género de mamíferos hay clasificada al menos una especie de mamíferos.
La función área A: T → R no es sobreyectiva, ya que Im(A) = R⁺. Tampoco es inyectiva, ya que pueden construirse con facilidad triángulos distintos con el mismo área.
En la imagen pueden verse varios ejemplos de funciones entre un conjunto de pinceles P y un conjunto de caras C.

Álgebra de funciones

Con las funciones puede realizarse una operación de composición con propiedades similares a las de la multiplicación.

Composición de funciones

La composición g ∘ f actúa sobre el objeto x transformándolo según f, y después transformando f(x) mediante g.

Artículo principal: Composición de funciones

Dadas dos funciones, bajo ciertas condiciones podemos usar los valores de salida de una de ellas como valores de entrada para la otra., creando una nueva función.

Sean dos funciones f : A → B y g : C → D, tales que el recorrido de la primera esté contenido en el dominio de la segunda, Im(f) ⊆ C. Entonces puede formarse la composición de g con f, la función g ∘ f : A → D que a cada a en el dominio A le asocia el elemento (g ∘ f)(a) = g(f(a)).

Es decir, la composición g ∘ f hace actuar primero la función f sobre un elemento de A, y luego g sobre la imagen que se obtenga:

$x\mapsto f(x)\mapsto g(f(x))$

La condición Im(f) ⊆ C asegura precisamente que este segundo paso se pueda llevar a cabo.

Ejemplos

La imagen de la función «inverso» g es R \ {0} —puesto que todo número real no nulo es el inverso de otro—, y por tanto está contenido en el dominio de la función cubo f, que es R. La composición f ∘ g: R \ {0} → R actúa entonces como f(g(x)) = f(1/x) = (1/x)³ = 1/x³.
Dadas las funciones reales h₁: R → R y h₂: R → R dadas por h₁(x) = x² y h₂(x) = x + 1, puede tomarse la composición en ambos órdenes, h₁ ∘ h₂ y h₂ ∘ h₁. Sin embargo, son funciones distintas, ya que:

(h₁ ∘ h₂)(x) = h₁(h₂(x)) = h₁(x + 1) = (x + 1)² = x² + 2x + 1, y

(h₂ ∘ h₁)(x) = h₂(h₁(x)) = h₂(x²) = x² + 1

La función γ que clasifica los mamíferos en géneros puede componerse con la función ω: G → Or que clasifica los géneros de mamíferos en órdenes —que forman el conjunto Or—. La función ω ∘ γ asigna a cada mamífero su orden:

(ω ∘ γ)(Humano) = ω(Homo) = Primate, (ω ∘ γ)(Guanaco) = ω(Lama) = Artiodactyla

Función identidad

Artículo principal: Función identidad

En cualquier conjunto puede definirse una función identidad, que teniendo como dominio y codominio al propio conjunto, asocia cada elemento consigo mismo.

Dado un conjunto A, la función identidad de A es la función id_A : A → A que a cada a ∈ A le asocia id_A(a) = a.

También se denota como I_A. La función identidad actúa como un elemento neutro al componer funciones, ya que no «hace nada».

Dada una función cualquiera f : A → B se tiene:

$\begin{align} &f\circ \text{id}_A = f\\ &\text{id}_B \circ f=f \end{align}$

Es decir, dado un elemento x ∈ A, se tiene que:

$\begin{align} &x\ \stackrel{\text{id}_A}{\longmapsto}\ x\ \stackrel{f}{\longmapsto}\ f(x)\\ &x\ \stackrel{f}{\longmapsto}\ f(x)\ \stackrel{\text{id}_B}{\longmapsto}\ f(x) \end{align}$

Función inversa

Artículo principal: Función inversa

Una función puede tener inversa, es decir, otra función que al componerla con ella resulte en la identidad, del mismo modo que un número multiplicado por su inverso da 1.

Dada una función f : A → B, se dice que g : B → A es la inversa o recíproca de f si se cumple:

$\begin{align} &f\circ g = \text{id}_B\\ &g \circ f = \text{id}_A \end{align}$

La inversa se denota por g = f⁻¹, y tanto f como f⁻¹ se dicen invertibles.

No todas las funciones son invertibles, sino que solo aquellas que sean biyectivas poseen inversa:

Toda función biyectiva f es invertible, y su inversa f⁻¹ es biyectiva a su vez. Recíprocamente, toda función invertible f es biyectiva.

La notación para funciones inversas puede ser confusa. Para un elemento del codominio b, f⁻¹(b) puede denotar tanto la anti-imagen de b (un subconjunto del dominio), como a la imagen de b por la función inversa de f (un elemento del dominio), en el caso de que f sea invertible.

Ejemplos.

La función «exponencial» h: R → R, que asocia a cada número real su exponencial, h(x) = e^x, no es invertible, ya que no es suprayectiva: ningún número negativo pertenece a la imagen de h.
Existe una función que calcula el cambio entre dos divisas. En el caso del cambio de rupias a quetzales (las monedas de la India y Guatemala), la conversión está dada (en 2011) por:
Q(r) = 0,15 × r
Esta función de cambio tiene inversa, la conversión recíproca de quetzales a rupias:
R(q) = 6,65 × q
La función cubo f(x) = x³ es invertible, ya que podemos definir la función inversa mediante la raíz cúbica, f⁻¹(x) = ³√x.
La función de clasificación en géneros γ: M → G no es invertible, ya que no es inyectiva, y para cada género pueden existir varios mamíferos clasificados en él.
La función que asigna a cada día de la semana su siguiente tiene por inversa la función que asigna a cada día de la semana su antecesor:

Lunes → Domingo, Martes → Lunes,..., Domingo → Sábado

Restricción y extensión

Artículo principal: Restricción de una función

La función que asigna a cada mujer del electorado su voto es una restricción de la función que a cada miembro del electorado le asigna su voto.

La restricción de una función dada es otra función definida en una parte del dominio de la original, pero que «actúa igual» que esta. Se dice también que la primera es una extensión de la segunda.

Dadas dos funciones f : A → B y g : C → D, de forma que el dominio de g sea un subconjunto del dominio de f, C ⊆ A, y cuyas imágenes coinciden en este subconjunto:

$f(x)=g(x),\text{ para cada }x\in C\,,$

se dice entonces que g es la restricción de f al subconjunto C, y que f es una extensión de g.

La restricción de una función f: A → B a un subconjunto C ⊆ A se denota por f|_C.

Representación de funciones

Artículo principal: Representación gráfica de una función

Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:

usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma $y=f(x)$ . Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el dominio natural, de la función.

Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.

Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.

Ejemplo:

\begin{array}{c|cccccc} X & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline Y & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ \end{array}

Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.

Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3),... (x, x+2)}

Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.

Ejemplo:

5						X
4					X
3				X
2			X
1		X
0	X
y / x	-2	-1	0	1	2	3

Definición formal. Generalizaciones

Las funciones pueden definirse en términos de otros objetos matemáticos, como los conjuntos y los pares ordenados. En particular, una función es un caso particular de relación binaria, luego su esta definición está basada en la que se adopte para las relaciones. En el enfoque «extensivo» se identifica una función con su gráfica:

Una función es un conjunto f de pares ordenados tal que no contiene dos pares distintos con la misma primera componente:

$(a,b),\,(a,c)\in f\Rightarrow b=c$

El dominio (la imagen) de la función es entonces el conjunto de primeras (segundas) componentes:

$\begin{align} &\text{Dom}(f)=\{a:\text{ Existe }b\text{ con }(a,b)\in f\}\\ &\text{Im}(f)=\{b:\text{ Existe }a\text{ con }(a,b)\in f\} \end{align}$

En la definición extensiva no aparece el concepto de codominio como conjunto potencial donde está contenido el recorrido. En algunas áreas de las matemáticas es importante preservar esta distinción, y por tanto se usa una definición distinta:⁸

Una función es una terna de conjuntos f = (A, B, G(f)), el dominio, el codominio y el grafo de f, tales que:

G(f) ⊂ A × B

Todo elemento del dominio tiene imagen: para cada a ∈ A, existe un b ∈ B tal que (a, b) ∈ G(f)

Esta imagen es única: si (a, b), (a, c) ∈ G(f), entonces b = c.

Con esta definición, dos funciones con el mismo grafo son distintas si su codominio no coincide. También se habla en ocasiones de funciones parciales, para las que no necesariamente cada elemento del dominio posee una imagen, en contraste con las funciones como se han definido antes, que se denominan totales. A las funciones parciales también se las llama correspondencias o relaciones unívocas.

FUNCIONES

lunes, 4 de mayo de 2015